Question

已知函数f（x）=ax+xlnx，且图象在点（

1

e

，f（

1

e

））处的切线斜率为1（e为自然对数的底数）．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）设g（x）=

f(x)-x

x-1

，求g（x）的单调区间．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）由f（x）=ax+xlnx，得f′（x）=a+1+lnx，依题意f′（

1

e

）=a=1，从而求出a=1．
（Ⅱ）由g′（x）=

x-1-lnx

(x-1)2

，设h（x）=x-1-lnx，则h′（x）=1-

1

x

，讨论①当x＞1时，②当0＜x＜1时的情况，得出g（x）的单调增区间为（0，1），（1，+∞）．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=ax+xlnx，
∴f′（x）=a+1+lnx，
依题意f′（

1

e

）=a=1，
∴a=1．
（Ⅱ）∵g（x）=

xlnx

x-1

，
∴g′（x）=

x-1-lnx

(x-1)2

，
设h（x）=x-1-lnx，
则h′（x）=1-

1

x

，
当x＞1时，h′（x）＞0，h（x）是增函数．
对?x＞1，h（x）＞h（1）=0，即当x＞1时，g′（x）＞0，
故g（x）在（1，+∞）上为增函数，
当0＜x＜1时，h′（x）＜0，h（x）是减增函数．
对?x∈（0，1），h（x）＞h（1）=0，即当0＜x＜1时，g′（x）＞0，
故g（x）在（0，1）上为增函数，
∴g（x）的单调增区间为（0，1），（1，+∞）．

点评：本题考察了函数的单调性，导数的应用，求参数的值，渗透了分类讨论思想，是一道综合题．