Question

已知函数f（x）=a^2x+2a^x-1（a＞0，且a≠1）在区间[-1，1]上的最大值为14，求实数a的值．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：先令t=a^x，转化为二次函数，再结合a＞1或0＜a＜1确定出t的范围，结合单调性确定何时取最大值列出方程即可．

解答： 解：令t=a^x＞0
则原函数化为y=t²+2t-1=（t+1）²-2
结合二次函数的图象与性质可知该函数在（0，+∞）上是单调增函数
结合x∈[-1，1]，
则当a＞1时，t=ax∈[

1

a

，a]，所以ymax=a2+2a-1=14，解得a=3或-5（舍），所以此时a=3符合题意；
当0＜a＜1时，t=ax∈[a，

1

a

]，所以ymax=(

1

a

)2+

2

a

-1=14，解得

1

a

=3或-5（舍），故a=

1

3

符合题意；
综上，所求实数a的值为3或

1

3

．

点评：本题考查了利用指数函数与二次函数的单调性求最值，利用换元法将问题转化为二次函数的问题是关键．