Question

已知圆M：（x+1）²+y²=1，圆N：（x-1）²+y²=9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C．
（1）求C的方程；
（2）过（-4，0）的直线l与圆M相切，且l与曲线C交于A，B两点，求|AB|．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用

专题：综合题,直线与圆

分析：（1）由给出的圆的方程判断两圆的位置关系，从而得到动圆P与圆M外切，与圆N内切，然后利用圆心距和半径的关系得到P到M和P到N的距离之和为定值，符合椭圆定义，从而求得椭圆方程；
（2）设直线方程，由由l与圆M相切，求出k，再利用韦达定理，即可求|AB|．

解答： 解：（1）圆M：（x+1）²+y²=1，圆N：（x-1）²+y²=9，
设动圆P半径为R．
∵M在N内，∴动圆只能在N内与N内切，不能是N在动圆内，即：R＜3
动圆P与圆M外切，则PM=1+R，
动圆P与圆N内切，则PN=3-R，
∴PM+PN=4，即P到M和P到N的距离之和为定值．
∴P是以M、N为焦点的椭圆．
∵MN的中点为原点，故椭圆中心在原点，
∴2a=4，a=2，2c=MN=2，c=1，
∴b²=a²-c²=4-1=3，
∴C的方程为

x2

4

+

y2

3

=1（x≠-2）；
（2）设l：y=k（x+4），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由l与圆M相切得

|3k|

1+k2

=1，∴k=±

2

4

，
k=

2

4

时，将y=

2

4

x+

2

代入椭圆，并整理得7x²+8x-8=0，
x₁+x₂=-

8

7

，x₁x₂=-

8

7

，
∴|AB|=

1+k2

|x₁-x₂|=

18

7

，
k=-

2

4

时，由图形的对称性可知|AB|=

18

7

，
综上，|AB|=

18

7

．

点评：本题考查了轨迹方程，考查了直线和圆锥曲线的关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．