Question

已知S_n是等比数列{a_n}的前n项和．
（Ⅰ）若S₃=3a₁，求{a_n}的公比q；
（Ⅱ）若S₃，S₉，S₆成等差数列，求证：a₂，a₈，a₅成等差数列．

Answer 1

考点：等差数列的性质,等比数列的性质

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）S₃=3a₁，可得q²+q-2=0，即可求{a_n}的公比q；
（Ⅱ）由等比数列的定义，验证得当q=1时不符合题意，因此得q≠1．再由等比数列的求和公式，结合S₃、S₉、S₆成等差数列建立关于q的方程，解之即可得到q³的值，由等比数列的通项公式，从而化简得a₂+a₅-2a₈=0，所以a₂，a₈，a₅成等差数列．

解答： 解：（Ⅰ）S₃=3a₁，∴q²+q-2=0，∴q=1或2；
（Ⅱ）当q=1时，S₃=3a₁、S₉=9a₁、S₆=6a₁，
显然S₃、S₉、S₆不能成等差数列，不符合题意，因此得q≠1 
由S₃、S₉、S₆成等差数列，得2S₉=S₃+S₆
即整理得2q⁶-q³-1=0，解q³=1或-

1

2

，
∵q=1时，2S₉=S₆+S₃不成立
∴q³=-

1

2

，
可得a₂+a₅-2a₈=a₂（1+q³-2q⁶）=a₂（1-

1

2

-2×

1

4

）=0
∴a₂+a₅=2a₈，即a₂，a₈，a₅成等差数列．

点评：本题给出等比数列的前3项和、前6项和与前9项和成等差数列，求它的公比并证明a₂，a₈，a₅也成等差数列．着重考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了等差中项的概念，属于中档题．