Question

20．如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市，并于第二天离开．
（I）求此人到达当日空气重度污染的概率；
（II）根据上面空气质量指数趋势图判断：从哪天开始连续三天的空气指数方差最大？（只写结论）
（III） 设x是此人停留期间空气质量优良的天数，求x的分布列与数学期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设“此人到达当日空气重度污染”为事件A，由于此人随机选择某一天到达该市且停留2天，从而他必须在3月1日到13日的某一天到达该城市，由折线图知：3月1日到13日有职有2天属于重度污染，由此能求出此人到达当日空气重度污染的概率．
（Ⅱ）由折线图判断从3月5日开始连续三天的空气质量指数波动最大，由此能求出结果．
（Ⅲ）依题意，X的可能取值是0，1，2，由折线图知：3月1日至14日属于优良天气的共有7天，由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（Ⅰ）设“此人到达当日空气重度污染”为事件A，
由于此人随机选择某一天到达该市且停留2天，
∴他必须在3月1日到13日的某一天到达该城市，
由折线图知：3月1日到13日有职有2天属于重度污染，
∴此人到达当日空气重度污染的概率P=$\frac{2}{13}$．
（Ⅱ）由折线图判断从3月5日开始连续三天的空气质量指数波动最大，
∴从3月5日开始连续三天的空气指数方差最大．
（Ⅲ）依题意，X的可能取值是0，1，2，由折线图知：
3月1日至14日属于优良天气的共有7天，
∴P（X=0）=$\frac{5}{13}$，P（X=1）=$\frac{4}{13}$，P（X=2）=$\frac{4}{13}$，
∴X的分布列为：

X	0	1	2
P	$\frac{5}{13}$	$\frac{4}{13}$	$\frac{4}{13}$

∴EX=$0×\frac{3}{13}+1×\frac{4}{13}+2×\frac{4}{13}$=$\frac{12}{13}$．

点评 本题考查概率的求法，考查方差的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意折线图的性质的合理运用．