Question

已知函数f（x）=

3x

2x2+2

，x∈[0，2]．
（1）求使方程f（x）-k=0（k∈R）存在两个不同实数解时k的取值范围；
（2）设函数g（x）=lnx+

1

2

x²-2x-m（x∈[1，3]），若对任意x₁∈[0，2]，总存在x₀∈[1，3]，使f（x₁）-g（x₀）=0，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数最值的应用

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）求导函数，可得f（x）在区间[0，1]上递增，在[1，2]递减，求出f（0）=0，f（1）=

3

4

，f（2）=

3

5

，即可求出k的取值范围；
（2）确定f（x₁）∈[0，

3

4

]，要使f（x₁）-g（x₀）=0成立，则g（x₀）的值必须包含[0，

3

4

]．确定g（x）在[1，3]上单调性，即可求实数m的取值范围．

解答： 解：（1）f'（x）=

6(1-x2)

(2x2+2)2

，所以f（x）在区间[0，1]上递增，在[1，2]递减．
因为f（0）=0，f（1）=

3

4

，f（2）=

3

5

，
所以

3

5

≤k＜

3

4

．（4分）
（2）由（1）可知f（x₁）∈[0，

3

4

]，要使f（x₁）-g（x₀）=0成立，则g（x₀）的值必须包含[0，

3

4

]．
又g'（x）=

1

x

+x-2=

x2-2x+1

x

=

(x-1)2

x

≥0，
所以函数g（x）=lnx+

1

2

x²-2x-m在[1，3]上单调递增，g（1）=-

3

2

-m，g（3）=ln3-

3

2

-m，
由g（1）=-

3

2

-m≤0，g（3）=ln3-

3

2

-m≥

3

4

，得-

3

2

≤m≤ln3-

9

4

．（12分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，有一定的难度，确定函数的单调性是关键．