Question

19．已知直线x+2y-4=0与抛物线${y^2}=\frac{1}{2}x$相交于A，B两点（A在B上方），O是坐标原点．
（Ⅰ）求抛物线在A点处的切线方程；
（Ⅱ）试在抛物线的曲线AOB上求一点P，使△ABP的面积最大．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出A的坐标，利用导数求出切线的斜率，即可求抛物线在A点处的切线方程；
（Ⅱ）设切点为（x₀，y₀），过切点（x₀，y₀）的切线与直线x+2y-4=0平行，求出切点的坐标，该点为抛物线上与线段AB的距离最大的点．

解答 解：（Ⅰ）由直线x+2y-4=0与抛物线${y^2}=\frac{1}{2}x$，联立得A（2，1）
故令$y=\sqrt{\frac{1}{2}x}，y'=\frac{{\sqrt{2}}}{{4\sqrt{x}}}，k=\frac{1}{4}$
抛物线在A点的切线方程为x-4y+2=0．
（Ⅱ）由${y^2}=\frac{1}{2}x$及直线x+2y-4=0的位置关系可知，点P应位于直线x+2y-4=0的下方．
故令$y=-\sqrt{\frac{1}{2}x}，y'=-\frac{{\sqrt{2}}}{{4\sqrt{x}}}$，
设切点为（x₀，y₀），过切点（x₀，y₀）的切线与直线x+2y-4=0平行，
所以$-\frac{{\sqrt{2}}}{{4\sqrt{x_0}}}=-\frac{1}{2}$．所以x₀=$\frac{1}{2}$，
所以切点坐标为（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$），
此时该点为抛物线上与线段AB的距离最大的点，
故点P（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$）即为所求．
所以在抛物线的曲线AOB上存在点P（$\frac{1}{2}$，-$\frac{1}{2}$），使△ABP的面积最大．

点评 本题考查抛物线方程，考查导数的几何意义，考查切线方程，属于中档题．