Question

7．${T_n}=（{1-\frac{1}{1+2}}）（{1-\frac{1}{1+2+3}}）•…•（{1-\frac{1}{1+2+3+…+n}}）$=$\frac{（n+1）+2}{3（n+1）}$．

Answer 1

分析 由1-$\frac{1}{1+2+3+…+n}$=1-$\frac{2}{n（n+1）}$=$\frac{n（n+1）-2}{n（n+1）}$，得T_n=$\frac{4}{6}×\frac{10}{12}×\frac{18}{20}×\frac{28}{30}×…×\frac{n（n+1）-2}{n（n+1）}$，由此依次求出T_n的前四项，由此能求出结果．

解答 解：∵$\frac{1}{1+2+3+…+n}$=$\frac{2}{n（n+1）}$，
∴1-$\frac{1}{1+2+3+…+n}$=1-$\frac{2}{n（n+1）}$=$\frac{n（n+1）-2}{n（n+1）}$，
∴${T_n}=（{1-\frac{1}{1+2}}）（{1-\frac{1}{1+2+3}}）•…•（{1-\frac{1}{1+2+3+…+n}}）$
=$\frac{4}{6}×\frac{10}{12}×\frac{18}{20}×\frac{28}{30}×…×\frac{n（n+1）-2}{n（n+1）}$，
∴T₁=$\frac{4}{6}$=$\frac{2+2}{3×2}$，
T₂=$\frac{4}{6}×\frac{10}{12}$=$\frac{2}{3}×\frac{5}{6}$=$\frac{3+2}{3×3}$，
T₃=$\frac{5}{9}×\frac{18}{20}$=$\frac{4+2}{3×4}$，
T₄=$\frac{1}{2}×\frac{28}{30}$=$\frac{5+2}{3×5}$，
…
由此猜想，T_n=$\frac{（n+1）+2}{3（n+1）}$．
故答案为：$\frac{（n+1）+2}{3（n+1）}$．

点评 本题考查数列的前n项积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意归纳法的合理运用．