Question

13．设函数f（x）=（ax²-2x）•e^x，其中a＞0，若f（x）在[-1，1]上单调递减，求a的取值范围．

Answer 1

分析 由f（x）在[-1，1]上单调递减知，f′（x）≤0对于x∈[-1，1]恒成立，即ax²+（2a-2）x-2≤0对于x∈[-1，1]恒成立．再结合着图象可知，$\left\{\begin{array}{l}{a×（-1）^{2}+（2a-2）×（-1）-2≤0}\\{a×{1}^{2}+（2a-2）×1-2≤0}\end{array}\right.$即可．

解答 f′（x）=[ax²+（2a-2）x-2]e^x，
∵f（x）在[-1，1]上单调递减，
∴f′（x）≤0对于x∈[-1，1]恒成立，
即ax²+（2a-2）x-2≤0对于x∈[-1，1]恒成立，又a＞0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{a×（-1）^{2}+（2a-2）×（-1）-2≤0}\\{a×{1}^{2}+（2a-2）×1-2≤0}\end{array}\right.$，
解得，$0≤a≤\frac{4}{3}$．

点评 本题是利用导数研究函数的单调性问题，是一种常见题型，即“已知单调性求参数问题”．在解题过程中注意到数形结合方法的运用，可以简化计算．