Question

5．在高为H、底面半径为R的圆锥内作一内接圆柱体．则圆柱体的半径r为多大时：
（1）圆柱体的体积最大？
（2）圆柱体的表面积最大？

Answer 1

分析 设圆柱底面半径为r，根据三角形相似得出圆柱的高h，代入体积和表面积公式得到关于r的函数，利用导数或基本不等式求出最大值．

解答 解：当圆柱的底面半径为r时，设圆柱体的高为h，
则$\frac{r}{R}=\frac{H-h}{H}$，∴h=$\frac{H（R-r）}{R}$，
（1）圆柱的体积V（r）=πr²h=$\frac{πH（R-r）{r}^{2}}{R}$=$\frac{πH（2R-2r）•r•r}{2R}$≤$\frac{πH}{2R}$×（$\frac{2R}{3}$）³=$\frac{4πH{R}^{2}}{27}$．当且仅当r=2R-2r即r=$\frac{2R}{3}$时取等号．
（2）圆柱体的表面积S（r）=2πr²+2πrh=2πr²+2πr$\frac{H（R-r）}{R}$=2π（1-$\frac{H}{R}$）r²+2πHr，r∈（0，R）．
∴S′（r）=4π$\frac{R-H}{R}$r+2πH，
①当R≥H时，S′（r）＞0，故S（r）在（0，R）上是增函数，∴S（r）没有最大值．
②当R＜H时，令S′（r）=0，得r=$\frac{HR}{2（H-R）}$，
当0＜r＜$\frac{HR}{2（H-R）}$时，S′（r）＜0，当$\frac{HR}{2（H-R）}$＜r＜R时，S′（r）＞0．
∴当r=$\frac{HR}{2（H-R）}$时，S（r）取得最大值S（$\frac{HR}{2（H-R）}$）=$\frac{{H}^{2}Rπ}{2（H-R）}$．

点评 本题考查了圆柱和圆锥的结构特征，体积和表面积计算，导数与函数的最值，属于中档题．