题目内容

如图，在矩形ABCD中，AB=1，AD=
3
，P矩形内的一点，且AP=
3
2
，若
AP
=λ
AB
+μ
AD
，（λ，μ∈R），則λ+
3
μ的最大值为
 
．
考点：平面向量的基本定理及其意义
专题：平面向量及应用
分析：由题意正确得出点P（x，y）所满足的约束条件，利用
AP
=λ
AB
+μ
AD
（x，y）=λ（1，0）+μ（0，
3
）进行坐标变换得出x，y满足的约束条件，利用基本不等式的方法找出x+y的最大截距即可．
解答： 解：如图所示，在图中，设P（x，y）．
B（1，0），D（0，
3
），C（1，
3
），
由AP=
3
2
，x2+y2=
3
4
，
则点P满足的约束条件为
0≤x≤
3
2
0≤y≤
3
2
x2+y2=
3
4
，
∵
AP
=λ
AB
+μ
AD
，
即（x，y）=λ（1，0）+μ（0，
3
），
∴x=λ，y=
3
μ，
∴λ+
3
μ=x+y，
由于x+y≤
2(x2+y2)
=
2×
3
4
=
6
2
当且仅当x=y时取等号．
则λ+
3
μ=x+y的最大值为
6
2
，
故答案为：
6
2
点评：本题主要考查了向量在几何中的应用，基本不等式的运用，属于中档题．
练习册系列答案
相关题目
如图所示，△ABC中G为重心，PQ过G点，
AP
=m
AB
，
AQ
=n
AC
，则
1
m
+
1
n
=
 
．
设f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[-1，1]上，f（x）=
ax+1;-1≤x＜0
bx+2
x+1
;0≤x≤1
，其中a，b∈R，若f（
1
2
）=f（
3
2
），则a-2b的值为
 
．
过椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左项点A的斜率为k的直线交椭圆于另一个点B，且点B在x轴上的身影恰好为右焦点F，若
1
3
＜k＜
4
5
，则椭圆离心率的取值范围是
 
．
函数y=-（x2+x-c）•ex在区间[-3，2]上不单调，则实数c的取值范围是
 
．
在△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，若A=
π
3
，cosB=
3
5
，a=
3
，则b的值为
 
．
在古希腊，毕达哥拉斯学派把1，3，6，10，15，…这些数叫做三角形数，因为这些数目的点可以排成一个正三角形（如图）：

则第七个三角形数是
 
．
曲线y=x3-4x在点（1，-3）处的切线方程为（　　）
A、x+y+2=0
B、x+y+1=0
C、2x-y+5=0
D、x-y-4=0
已知函数f（x）=x3+5x2+3x-9，则函数f（x）的单调递增区间是（　　）
A、[-
5
3
，+∞）
B、（-∞，-3]
C、[-3，-
1
3
]
D、（-∞，-3]，[-
1
3
，+∞）

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