Question

已知二次函数f（x）=ax²+bx，f（x+1）为偶函数，函数f（x）的图象与直线y=x相切．
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）设集合A={x|f（x）＞0}，B={x||x-1|＜m}，若集合B是集合A的子集，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）先求出f（x+1）的解析式，再根据f（x+1）为偶函数，列出相应的等式，再结合函数f（x）的图象与直线y=x相切，导数即斜率，切点在曲线上；
（2）先解出集合A，讨论参数m的取值，分别验证是否符合集合B是集合A的子集．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x+1）=a（x+1）²+b（x+1）=ax²+（2a+b）x+（a+b）为偶函数，
∴2a+b=0⇒b=-2a…（2分）f（x）=ax²-2axf'（x）=2ax-2a
设f（x）与y=x相切于P（x₀，x₀），则

2ax0-2a=1 a x 2 0 -2ax0=x0

⇒

a=- 1 2 x0=0

∴f(x)=-

1

2

x2+x．…（6分）
（运用判别式处理同样给分）
（Ⅱ）A={x|f（x）＞0}={x|0＜x＜2}B={x||x-1|＜m}
∵B⊆A∴①当m≤0时，有B=∅，满足B⊆A…（10分）
②当m＞0时，B={x|1-m＜x＜1+m}要使B⊆A，则

m＞0 1-m≥0 1+m≤2

⇒0＜m≤1
综合①②，要使B⊆A，实数m的取值范围为（-∞，1]．…（14分）

点评：本题主要考查偶函数的性质，导数与切线，集合间的关系，属于中档题．