题目内容

已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，以F1F2为直径的圆交y轴左边椭圆于A、B两点，若△ABF2为等边三角形，则椭圆的离心率为
 
．
考点：椭圆的简单性质
专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：求出∠AF2F1=30°，|AF1|=c，|AF2|=
3
c，根据椭圆定义，|AF1|+|AF2|=2a，即可求出椭圆的离心率．
解答： 解：∵F1F2是圆的直径，∴∠F1AF2=90°，
∵△ABF2是正△，∴∠AF2B=60°，
∴∠AF2F1=30°，∴|AF1|=c，|AF2|=
3
c，
根据椭圆定义，|AF1|+|AF2|=2a，
∴c+
3
c=2a，
∴离心率e=
c
a
=
3
-1
故答案为：
3
-1．
点评：本题考查椭圆的离心率，考查学生的计算能力，比较基础．
练习册系列答案
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已知|
a
+
b
|=|
a
-
b
|，那么
a
 
b
．
已知α，β为锐角，cosα=
10
10
，cosβ=
5
5
，则α+β的值为
 
．
下列命题：
①已知△ABC中，
AB
=
a
，
BC
=
b
，B是△ABC中最大角，且
a
•
b
＜0，则△ABC为钝角三角形；
②若sinA=
4
5
，则
5sinA+8
15cosA-7
=6；
③若sinα=
5
5
，sinβ=
10
10
且α、β为锐角，则α+β=
π
4
；
④已知数列{an}的前n项和Sn=aqn（a≠0，q≠1，q为非零常数），则数列{an}为等比数列．
其中正确的命题序号
 
．（注：把你认为正确的序号都填上）
若函数f（x）=x3+x2+mx+1在R上无极值点，则实数m的取值范围是
 
．
下面有五个命题：
①函数y=sin4x-cos4x的最小正周期是π
②终边在y轴上的角的集合是{α|α=
kπ
2
，k∈Z}
③在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点
④把函数y=3sin（2x+
π
3
）的图象向右平移
π
6
得到y=3sin2x的图象
⑤函数y=sin（x-
π
2
）在[0，π]上是减函数
其中，真命题的编号是
 
（写出所有真命题的编号）
计算：
13
24
-11
04
=
 
．
全称命题“?a∈Z，a有一个正因数”的否定是
 
．
已知函数f（x）=
(a-3)x+4a(x＜1)
logax(x≥1)
是（-∞，+∞）上的减函数，那么a的取值范围是（　　）
A、（1，3）
B、（0，1）
C、[
3
5
，1)
D、（3，+∞）

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