Question

下面有五个命题：
①函数y=sin⁴x-cos⁴x的最小正周期是π
②终边在y轴上的角的集合是{α|α=

kπ

2

，k∈Z}
③在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有三个公共点
④把函数y=3sin（2x+

π

3

）的图象向右平移

π

6

得到y=3sin2x的图象
⑤函数y=sin（x-

π

2

）在[0，π]上是减函数
其中，真命题的编号是

 

（写出所有真命题的编号）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：综合题,简易逻辑

分析：①化简函数y=sin⁴x-cos⁴x为-cos2x，说明它的最小正周期是π，判断正误；
②通过k的取值，k是偶数时，α的终边落在x轴上；
③利用单位圆及三角函数线，当x∈（0，

π

2

）时，sinx＜x＜tanx，判断在同一坐标系中，函数y=sinx的图象和函数y=x的图象有3个公共点；是错误的．
④把函数y=3sin（2x+

π

3

）的图象向右平移

π

6

得到y=3sin2x的图象；判断正确．
⑤函数y=sin（x-

π

2

）=-cosx在[0，π]上是增函数

解答： 解：①y=sin⁴x-cos⁴x=sin²x-cos²x=-cos2x，它的最小正周期为π，正确；
②k是偶数时，α的终边落在x轴上，所以错误；
③可以借助单位圆证明当x∈（0，

π

2

）时，sinx＜x＜tanx，故y=sinx，y=tanx和y=x在第一象限无交点，错误；
④把函数y=3sin（2x+

π

3

）的图象向右平移

π

6

到y=3sin2x的图象，这是正确的；
⑤函数y=sin（x-

π

2

）=-cosx在[0，π]上是增函数，故不正确．
所以真命题的编号是①④．
故答案为：①④．

点评：本题是基础题，考查三角函数的有关的基本知识，掌握三角函数的基本性质，是解好三角函数问题的基础，因而学好基本知识，在解题中才能灵活应用，本题是常考题，易错题．