Question

已知函数f（x）=ax³-3x²，g（x）=f（x）+f′（x），（a＞0）
（1）求函数f（x）的极大值和极小值；
（2）若x∈[0，2]，函数g（x）在x=0处取得最大值，在x=2处取得最小值，求a的范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）由已知得f'（x）=3x（ax-2），利用导数性质能求出函数f（x）的极大值和极小值．
（2）g（x）=ax³+3（a-1）x²-6x，则g'（x）=3ax²+6（a-1）x-6．由此利用导数性质结合已知条件能求出a的取值范围．

解答： 解：（1）∵f（x）=ax³-3x²，
∴f'（x）=3x（ax-2），
令f'（x）＜0得0＜x＜

2

a

，…（2分）
增区间为(-∞，0)，(

2

a

，+∞)；减区间为(0，

2

a

)
∴y_极大值=f（0）=0，y极小值=f(

2

a

)=-

4

a2

…（5分）
（2）g（x）=ax³+3（a-1）x²-6x，
则g'（x）=3ax²+6（a-1）x-6…（6分）
令g'（x）=0，得x1=

1-a+ a2+1

a

＞0或x2=

1-a- a2+1

a

＜0，
x₂∉[0，2]，…（8分）
当x₁∈[0，2]，则g（x）在[0，x₁]单调减，在[x₁，2]单调增，不合舍去．故x₁≥2…（10分）
∴由

x1≥2 a＞0

，得a的取值范围是（0，

3

4

]．…（12分）

点评：本题考查函数的极值的求法，考查实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意导数性质的合理运用．