Question

20．已知三条直线：l₁：x-2y+5=0，l₂：mx+y-5=0，l3：-2x+4y+11=0．
（1）若直线l₁⊥l₂，求实数m的值；
（2）若直线l₂∥l₃，求实数m的值；
（3）在（1）的条件下，直线l过l₁与l₂的交点，且坐标原点O到直线l的距离为1，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （1）利用直线l₁⊥l₂，可得1×m+（-2）×1=0，即可求实数m的值；
（2）利用直线l₂∥l₃，可得4m=-2，即可求实数m的值；
（3）求出交点（5，-5）．设所求直线方程为y+5=k（x-5），即：kx-y-5k-5=0，由坐标原点O到直线l的距离为1得到$\frac{|-5k-5|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，解得k，即可求直线l的方程．

解答 解：（1）∵直线l₁⊥l₂，
∴1×m+（-2）×1=0，
∴m=2；
（2）∵直线l₂∥l₃，
∴4m=-2，
∴m=-$\frac{1}{2}$；
（3）联立直线l₁，l₂方程可得$\left\{\begin{array}{l}{x-2y+5=0}\\{2x+y-5=0}\end{array}\right.$，解得交点（1，3）．
设所求直线方程为y-3=k（x-1），
即：kx-y-k+3=0，由坐标原点O到直线l的距离为1得到$\frac{|-k+3|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，解得k=$\frac{4}{3}$，∴4x-3y+5=0．
斜率不存在时，x=1，满足题意
故所求的直线方程为x=1或4x-3y+5=0．

点评 本题考查直线方程，考查两条直线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．