Question

19．已知正方体的8个顶点中，有4个为一侧面是等边三角形的正三棱锥的顶点，则这个正三棱锥与正方体的全面积之比可能为（　　）

• A． $1：\sqrt{3}$
• B． $1：\sqrt{2}$
• C． $2：\sqrt{2}$
• D． $3：\sqrt{6}$

Answer 1

分析 分两种情况求出棱锥的表面积，从而得出答案．

解答 解：设正方体的棱长为1，则正方体的全面积为S₁=6，
（1）若三棱锥为B-AB₁C，则正三棱锥的表面积为S₂=$\frac{1}{2}×3$+$\frac{\sqrt{3}}{4}×$（$\sqrt{2}$）²=$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$．
∴正三棱锥与正方体的全面积之比为$\frac{{S}_{2}}{{S}_{1}}$=$\frac{3+\sqrt{3}}{12}$．
（2）若三棱锥为D₁-AB₁C，则三棱锥的表面积为：S₃=$\frac{\sqrt{3}}{4}×$（$\sqrt{2}$）²×4=2$\sqrt{3}$，
∴正三棱锥与正方体的全面积之比为$\frac{{S}_{3}}{{S}_{1}}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$．
故选：A．

点评 本题考查了常见几何体的表面积计算，属于基础题．