Question

若双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的渐近线与圆（x-2）²+y²=1有公共点，则此双曲线的离心率的取值范围是（　　）

• A、（1，

  2 3

  3

  ）
• B、（1，

  2 3

  3

  ]
• C、（

  2 3

  3

  ，+∞）
• D、[

  2 3

  3

  ，+∞）

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：先根据双曲线方程求得双曲线的渐近线，进而利用圆心到渐近线的距离小于等于半径求得a和b的关系，进而利用c²=a²+b²求得a和c的关系，则双曲线的离心率可求．

解答： 解：∵双曲线渐近线为bx±ay=0，与圆（x-2）²+y²=1有公共点，
∴圆心到渐近线的距离小于等于半径，即

2b

a2+b2

≤1
∴3b²≤a²，
∴c²=a²+b²≤

4

3

a²，
∴e=

c

a

≤

2 3

3

∵e＞1
∴1＜e≤

2 3

3

．
故选：B．

点评：本题主要考查了双曲线的简单性质，直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式等，属于基础题．