Question

如图，矩形ABCD中，AD⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE，AC、BD交于点G．
（1）求证：AE⊥平面BCE； 
（2）求点C到平面BDF的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）根据已知条件先证明BC⊥平面ABE，进一步利用BF⊥平面ACE得到：BF⊥AE，最后证明AE⊥平面BCE．
（2）要求点C到平面BDF的距离，首先证明CF⊥平面BFG，然后根据线段之间的关系求的结果

解答： （1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴BC∥AD
∵AD⊥平面ABE
∴BC⊥平面ABE
∵BF⊥平面ACE
∴BF⊥AE
∴AE⊥平面BCE
（2）解：∵AE=EB=BC=2且BF⊥平面ACE
∴F是EC的中点，
∴GF∥AE
∴GF⊥CE
又BF⊥CE
∴CF⊥平面BFG
点C到平面BDF的距离：即CF
∵EB=BC=2
∵EC²=BE²+BC²=8
利用勾股定理得：CF=

1

2

EC=

2

点评：本题考查的知识要点：线面垂直的性质定理和判定定理，点到平面的距离及相关的运算问题．