Question

1．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知过点A（0，2）的直线与抛物线C：x²=2py（p＞0）相交于两点M，N，与直线y=-2相交于点P（M位于A，P之间），直线OM平分∠POA．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若抛物线C在Q点处的切线为l₀，当点A到直线l₀的距离最小时，求直线l₀的方程．

Answer 1

分析 （1）设点M（x₀，y₀），P（m，-2）．得出直线OP的方程，于是M到直线OP的距离等于M到y轴的距离，结合A，M，P三点共线列出方程组解出p，得出抛物线方程；
（2）设Q（a，$\frac{{a}^{2}}{2}$），求出l₀的方程，得到A到l₀的距离d关于a的函数，利用基本不等式得出函数取得最小值时a的值，从而得出l₀方程．

解答 解：（1）设点M（x₀，y₀），P（m，-2）．则直线OP的方程为：2x+my=0．
∵A，M，P三点共线，∴$\frac{{y}_{0}+2}{{x}_{0}-m}=\frac{4}{-m}$，即m=$\frac{4{x}_{0}}{2-{y}_{0}}$．
∵直线OM平分∠POA，
∴M到直线OP的距离等于M到y轴的距离．即$\frac{|2{x}_{0}+m{y}_{0}|}{\sqrt{{m}^{2}+4}}$=|x₀|．
∴4x₀²+4mx₀y₀+m²y₀²=4x₀²+mx₀²，即m=$\frac{4{x}_{0}{y}_{0}}{{{x}_{0}}^{2}-{{y}_{0}}^{2}}$=$\frac{4{x}_{0}{y}_{0}}{2p{y}_{0}-{{y}_{0}}^{2}}$=$\frac{4{x}_{0}}{2p-{y}_{0}}$．
∴$\frac{4{x}_{0}}{2-{y}_{0}}$=$\frac{4{x}_{0}}{2p-{y}_{0}}$，∴p=1．
∴抛物线C的方程为：x²=2y．
（2）∵x²=2y，∴y=$\frac{{x}^{2}}{2}$，∴y′=x．
设Q（a，$\frac{{a}^{2}}{2}$），则直线l₀的方程为；y-$\frac{{a}^{2}}{2}$=a（x-a），即ax-y-$\frac{{a}^{2}}{2}$=0．
∴A到直线l₀的距离为d=$\frac{|2+\frac{{a}^{2}}{2}|}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$=$\frac{{a}^{2}+4}{2\sqrt{{a}^{2}+1}}$=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{{a}^{2}+1}$+$\frac{3}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$）≥$\sqrt{3}$．
当且仅当$\sqrt{{a}^{2}+1}=\frac{3}{\sqrt{{a}^{2}+1}}$即a=$±\sqrt{2}$时取到等号．
∴当点A到直线l₀的距离最小时，直线l₀的方程为$\sqrt{2}$x-y-1=0或-$\sqrt{2}$x-y-1=0．

点评 本题考查了抛物线的性质，切线方程，距离公式的应用，属于中档题．