题目内容
13．设函数f（x）=lnx+x2-2ax+a2，a∈R．（1）当a=0时，曲线y=f（x）与直线y=3x+m相切，求实数m的值；
（2）若函数f（x）在[1，3]上存在单调递增区间，求a的取值范围．
分析 （1）将a=0代入f（x），求出f（x）的导数，得到f′（x）=3，解得x的值，求出切点坐标，代入求出m的值即可；
（2）假设函数f（x）在[1，3]上不存在单调递增区间，必有g（x）≤0，得到关于a的不等式组，解出即可．
解答 解：（1）当a=0时，f（x）=lnx+x2，x∈（0，+∞），
f′（x）=$\frac{1}{x}$+2x＞0，
令f′（x）=3，解得：x=1或x=$\frac{1}{2}$，
代入f（x）得切点坐标为（1，1），或（$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{4}$-ln2），
将切点坐标代入直线y=3x+m，解得：m=-2或m=-$\frac{5}{4}$-ln2；
（2）f′（x）=$\frac{1}{x}$+2x-2a=$\frac{{2x}^{2}-2ax+1}{x}$，x∈[1，3]，
设g（x）=2x2-2ax+1，
假设函数f（x）在[1，3]上不存在单调递增区间，必有g（x）≤0，
于是$\left\{\begin{array}{l}{g（1）=3-2a≤0}\\{g（3）=19-6a≤0}\end{array}\right.$，解得：a≥$\frac{19}{6}$，
故要使函数f（x）在[1，3]上存在单调递增区间，
则a的范围是（-∞，$\frac{19}{6}$）．
点评 本题考查了函数的单调性问题，考查曲线的切线方程以及导数的应用，是一道中档题．
练习册系列答案
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）进行统计. 按照[50,60），[60,70），[70,80），[80,90），[90,100]的分组作出频率分布直方图，并作出样本分数的茎叶图（图中仅列出了得分在[50,60），[90,100]的数据）.
，
的值； 
表示所抽取的3名同学中得分在[80,90）的学生人数，求
的分布列及数学期望.
4．若函数f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+a-1（a∈R）在区间[0，$\frac{π}{2}$]上有两个零点x1，x2（x1≠x2），则x1+x2+sin（2x1+$\frac{π}{6}$）+sin（2x2+$\frac{π}{6}$）的取值范围是（ ）
| A． | [1+$\frac{π}{6}$，2+$\frac{π}{6}$） | B． | [1+$\frac{π}{3}$，2+$\frac{π}{3}$） | C． | [$\frac{1}{2}$+$\frac{π}{6}$，1+$\frac{π}{6}$） | D． | [$\frac{1}{2}$+$\frac{π}{3}$，1+$\frac{π}{3}$） |
如图所示，在平面直角坐标系xOy中，已知过点A（0，2）的直线与抛物线C：x2=2py（p＞0）相交于两点M，N，与直线y=-2相交于点P（M位于A，P之间），直线OM平分∠POA．
已知抛物线C：x2=4y，过点P（t，0）（其中t＞0）作互相垂直的两直线l1，l2，直线l1与抛物线C相切于点Q（Q在第一象限内），直线l2与抛物线C相交于A、B两点．
已知椭圆E：$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的两个焦点F1，F2，且椭圆过点（0，$\sqrt{3}}$），（${\sqrt{3}$，-$\frac{{\sqrt{6}}}{2}}$），且A是椭圆上位于第一象限的点，且△AF1F2的面积S${\;}_{△A{F_1}{F_2}}}$=$\sqrt{3}$．