Question

6．已知抛物线C：y=$\frac{1}{2}$x²，直线l：y=x-1，设P为直线l上的动点，过点P作抛物线的两条切线，切点分别为A、B
（Ⅰ）当点P在y轴上时，求线段AB的长；
（Ⅱ）求证：直线AB恒过定点．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设A（x₁，$\frac{1}{2}$x₁²），B（x₂，$\frac{1}{2}$x₂²），求得函数的导数，可得切线的斜率，进而得到切线的方程，代入（0，-1），求得切点坐标，进而得到|AB|；
（Ⅱ）设P（x，y），由切线的方程求得P的坐标，设直线AB的方程为y=kx+b，代入抛物线的方程，运用韦达定理，可得P的坐标，再由P在直线y=x-1，由直线恒过定点的方法，即可得到定点（1，1）．

解答 解：（Ⅰ）设A（x₁，$\frac{1}{2}$x₁²），B（x₂，$\frac{1}{2}$x₂²），
y=$\frac{1}{2}$x²的导数为y′=x，
以A为切点的切线方程为y-$\frac{1}{2}$x₁²=x₁（x-x₁），
整理得y=x₁x-$\frac{1}{2}$x₁²，
同理，以B为切点的切线方程为y=x₂x-$\frac{1}{2}$x₂²，
代入P（0，-1），得x₁²=x₂²=2（x₁x₂＜0），
可得|AB|=|x₁-x₂|=2$\sqrt{2}$；                                             
（Ⅱ）证明：设P（x，y），由（Ⅰ）得
$\left\{\begin{array}{l}{y={x}_{1}x-\frac{1}{2}{{x}_{1}}^{2}}\\{y={x}_{2}x-\frac{1}{2}{{x}_{2}}^{2}}\end{array}\right.$可得P（$\frac{{x}_{2}+{x}_{1}}{2}$，$\frac{{x}_{1}{x}_{2}}{2}$），
由已知直线AB的斜率必存在，设直线AB的方程为y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{y=\frac{1}{2}{x}^{2}}\end{array}\right.$，可得x²-2kx-2b=0，
即有x₁+x₂=2k，x₁x₂=-2b，可得P（k，-b），
由P在直线y=x-1上，可得b=1-k，
则直线AB的方程为y=kx+（1-k），即k（x-1）-y+1=0，
则直线AB过定点（1，1）．

点评 本题考查抛物线的方程的运用，注意联立直线方程运用韦达定理，同时考查切线方程的求法，注意运用导数的几何意义，考查化简整理的运算能力，属于中档题．