Question

10．已知抛物线C：y²=6x，过抛物线的焦点F的直线l交抛物线于点A，交抛物线的准线于点B，若$\overrightarrow{FB}$=3$\overrightarrow{FA}$，则点A到原点的距离为$\frac{\sqrt{13}}{2}$．

Answer 1

分析 由抛物线方程求得焦点坐标，求得|DF|的长度，利用抛物线性质可求得|AF|=|AC|，$\overrightarrow{FB}$=3$\overrightarrow{FA}$可知|AB|=2|AF|=2|AC|，根据三角形可求得|BD|=3$\sqrt{3}$，利用相似三角形可求得|CA|、|CD|的值，即可求得A点坐标，利用两点间的距离公式求得A到原点的距离．

解答 解：抛物线C：y²=6x，准线垂直于x轴，垂足为D，|DF|=3，
由抛物线定义，A点到F点的距离等于A到准线的距离，即|AF|=|AC|，
$\overrightarrow{FB}$=3$\overrightarrow{FA}$，即|FB|=3|FA|，|AB|=2|AF|=2|AC|．
∴∠ABC=$\frac{π}{6}$，tan∠ABC=$\frac{丨DF丨}{丨BD丨}$，
∴|BD|=3$\sqrt{3}$，
由相似三角可知，|CA|=$\frac{2}{3}$|DF|=2，|CD|=$\frac{1}{3}$|BD|=$\sqrt{3}$，
A点横坐标为|AC|-$\frac{3}{2}$=$\frac{1}{2}$，
故A点的坐标为（$\frac{1}{2}$，-$\sqrt{3}$），
∴点A到原点的距离为$\sqrt{\frac{1}{4}+3}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$，
故答案为：$\frac{\sqrt{13}}{2}$．

点评 本题考查直线与圆锥曲线的位置关系及抛物线的性质，考查学生计算能力及对问题的转化能力，属中档题，