Question

【题目】在中，，斜边．可以通过以直线为轴旋转得到，且二面角是直二面角．动点的斜边上．

（1）求证：平面平面；

（2）求直线与平面所成角的正弦的最大值．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】

（1）由题意得出平面平面，由旋转的性质得出，由平面与平面垂直的性质定理得出平面，再利用平面与平面垂直的判定定理得出平面平面；

（2）计算出，由（1）可知，平面，于是得出直线与平面所成的角为，可得出，得知当时，最小，由此可求出直线与平面所成角的正弦的最大值.

（1）为直角三角形，且斜边为，.

将以直线为轴旋转得到，则，即.

二面角是直二面角，即平面平面.

又平面平面，平面，平面.

平面，因此，平面平面；

（2）在中，，斜边，且.

由（1）知，平面，所以，直线与平面所成的角为.

在中，，，，

，

当时，取最小值，此时取最大值，且.

因此，，

即直线与平面所成角的正弦的最大值为.