Question

正项数列{a_n}满足a₁=1，a₂=2，又{

anan+1

}是以

1

2

为公比的等比数列，则使得不等式

1

a1

+

1

a2

+…+

1

a2n+1

＞2013成立的最小整数n为

6

．

Answer 1

分析：由{

anan+1

}是以

1

2

为公比的等比数列，利用等比数列的通项公式可得

anan+1

=

2

×(

1

2

)n-1=2

3

2

-n．化为anan+1=23-2n，可得

an+1an+2

anan+1

=

23-2(n+1)

23-2n

=2^-2=

an+2

an

．因此：数列{a_2n-1}是以a₁=1为首项，

1

4

为公比的等比数列，可得a_2n-1；数列{a_2n}是以a₂=2为首项，

1

4

为公比的等比数列，可得a_2n．

解答：解：∵a₁=1，a₂=2，∴

a1a2

=

2

．
又{

anan+1

}是以

1

2

为公比的等比数列，
∴

anan+1

=

2

×(

1

2

)n-1=2

3

2

-n．
∴anan+1=23-2n，∴

an+1an+2

anan+1

=

23-2(n+1)

23-2n

=2^-2=

an+2

an

．
∴数列{a_2n-1}是以a₁=1为首项，

1

4

为公比的等比数列，∴a2n-1=1×(

1

4

)n-1=2^2-2n．∴

1

a2n-1

=22n-2．
数列{a_2n}是以a₂=2为首项，

1

4

为公比的等比数列，∴a2n=2×(

1

4

)n-1=2^3-2n．∴

1

a2n

=22n-3
∴

1

a1

+

1

a2

+…+

1

a2n+1

=(

1

a1

+

1

a3

+…+

1

a2n+1

)+(

1

a2

+

1

a4

+…+

1

a2n

)
=（2⁰+2²+2⁴+…+2²ⁿ）+（2^-1+2+2³+…+2^2n-3）
=

4n+1-1

4-1

+

1 2 (22n-1)

22-1

=

1

3

(22n+2-1+22n-1-

1

2

)=

1

3

(9×22n-1-

3

2

)=3×22n-1-

1

2

．
∴由不等式

1

a1

+

1

a2

+…+

1

a2n+1

＞2013?3×22n-1-

1

2

＞2013，化为22n＞1342+

1

3

．
∵2¹⁰=1024，2¹¹=2048．
∴2n＞10，解得n＞5．
因此使得不等式

1

a1

+

1

a2

+…+

1

a2n+1

＞2013成立的最小整数n=6．
故答案为6．

点评：本题考查了等比数列的通项公式及其前n项和公式、分奇数和偶数项分别为等比数列的数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识与基本技能方法，属于难题．