Question

已知正项数列{a_n}满足：a_n²-na_n-（n+1）=0，数列{b_n}的前n项和为S_n，且S_n=2b_n-2．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{

1

an•log2bn

}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）解方程a_n²-na_n-（n+1）=0，得a_n，由S_n=2b_n-2，得n≥2时，S_n-1=2b_n-1-2，两式相减得b_n的递推式，根据递推式可判断{b_n}为等比数列，进而可求得b_n；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得

1

anlog2bn

，拆项后利用裂项相消法可求得T_n．

解答：解：（Ⅰ）由a_n²-na_n-（n+1）=0，得a_n=n+1，或a_n=-1（舍去），
∴a_n=n+1；
又S_n=2b_n-2，∴n≥2时，S_n-1=2b_n-1-2，
两式相减，得b_n=S_n-S_n-1=2b_n-2b_n-1，
∴b_n=2b_n-1（n≥2），
∴{b_n}为等比数列，公比q=2，
又∵S₁=b₁=2b₁-2，∴b₁=2，
∴bn=2×2n-1=2n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，a_n=n+1，bn=2n，
∴

1

an•log2bn

=

1

(n+1)log22n

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴Tn=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．

点评：本题考查由递推式求数列通项、等差数列等比数列的通项公式、数列求和等知识，裂相消法对数列求和是高考考查的重点内容，要熟练掌握．