Question

（2013•江西）正项数列{a_n}满足

a

2 n

-（2n-1）a_n-2n=0．
（1）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）令b_n=

1

(n+1)an

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析：（1）通过分解因式，利用正项数列{a_n}，直接求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）利用数列的通项公式化简b_n=

1

(n+1)an

，利用裂项法直接求数列{b_n}的前n项和T_n．

解答：解：（1）由正项数列{a_n}满足：

a

2 n

-（2n-1）a_n-2n=0，
可得（a_n-2n）（a_n+1）=0
所以a_n=2n．
（2）因为a_n=2n，b_n=

1

(n+1)an

，
所以b_n=

1

(n+1)an

=

1

2n(n+1)

=

1

2

(

1

n

-

1

n+1

)，
T_n=

1

2

(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)
=

1

2

(1-

1

n+1

)
=

n

2n+2

．
数列{b_n}的前n项和T_n为

n

2n+2

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，裂项法求解数列的和的基本方法，考查计算能力．