Question

已知正项数列{a_n}满足a_n+1²-a_n²-2a_n+1-2a_n=0，a₁=1．设b_n=n³-3n²+5-a_n．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）是比较a_n与b_n的大小；
（3）设c_n=

1	n3-n2+6-bn

，且数列{c_n}的前n项和为S_n，求S_n．

Answer 1

分析：（1）a_n+1²-a_n²-2a_n+1-2a_n=0，（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-2）=0．a_n+1-a_n=2，数列{a_n}是等差数列
（2）b_n=n³-3n²+5-a_n=n³-3n²+5-（2n-1）=n³-3n²-2n+6．首先考虑用作差法解决．
（3）利用裂项求和法求和

解答：解：（1）a_n+1²-a_n²-2a_n+1-2a_n=0，（a_n+1+a_n）（a_n+1-a_n-2）=0．
{a_n}是正项数列，所以a_n+1-a_n=2，
所以数列{a_n}是等差数列，a_n=1+（n-1）×2=2n-1．
（2）b_n=n³-3n²+5-a_n=n³-3n²+5-（2n-1）=n³-3n²-2n+6．
b_n-a_n=n³-3n²-4n+7．
当n=1时，b ₁-a₁=1＞0，b₁＞a₁
当n=2时，b₂-a₂=-5＜0，b₂＜a₂
当n=3时，b₃-a₃=-5＜0，b₃＜a₃
当n=4时，b₄-a₄=7＞0，b₄＜a₄
考查函数f（x）=x³-3x²-4x+7（x≥4）
f′（x）=3x²-6x-4=3（x-1）2-7＞0，f（x）单调递增，
所以n≥4时，数列{b_n-a_n}单调递增，b_n＞a_n．
综上所述，当n=1或n≥4时，b_n＞a_n．当n=2或3时，b_n＜a_n．
（3）c_n=

1

n3-n2+6-bn

=

1

2n(n+1)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+1

），
S_n=

1

2

[(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n-1

-

1

n

)]
=

1

2

(1-

1

n

)=

n-1

2n

点评：本题考查了数列通项公式求解，函数思想，裂项求和法．