Question

已知函数f（x）=e^|x|+a（e=2.71828…是自然对数的底数）的最小值为1．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）已知b∈R且x＜0，试解关于x的不等式lnf（x）＜x²+（2b-1）x-3b²'；
（Ⅲ）已知m∈Z且m＞l，若存在实数t∈[-1，+∞），使得对任意的x∈[1，m]都有f（x+t）≤ex，试求m的最大值．

Answer 1

考点：指数函数综合题

专题：导数的概念及应用

分析：（Ⅰ）由e^|x|+a的最小值为1，可得函数f（x）的最小值为1+a=1，由此求得a的值．
（Ⅱ）由f（x）=e^|x|，x＜0，可得lnf（x）=-x+ln3．不等式化为-x＜x²+（2b-1）x-3b²，即（x+3b）（x-b）＞0．再分当b≥0时，和b＜0时两种情况，分别求得不等式的解集．
（Ⅲ）由题意可得x+t≥0，f（x+t）≤3ex，等价于 t≤1+lnx-x．原命题等价转化为：存在实数t∈[-1，+∞），使得不等式t≤1+lnx-x对任意x∈[1，m]恒成立．再利用导数求得h（x）=1+lnx-x的最小值为h（x）_min=h（m）=1+lnm-m，由此求得h（m）≥-1的最大整数m的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵|x|≥0，
∴f（x）=e^|x|+a≥e⁰+a=1+a，
∵函数f（x）的最小值为1．
∴a=0，
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，f（x）=e^|x|，
当x＜0，lnf（x）=-x，
∵lnf（x）＜x²+（2b-1）x-3b²；
∴-x＜x²+（2b-1）x-3b²；
即x²+2bx-3b²＞0，
得（x+3b）（x-b）＞0，
∴当b≥0时，不等式的解集为（-∞，-3b），
当b＜0时，不等式的解集为（-∞，b），
（Ⅲ）∵当t∈[-1，+∞），x∈[1，m]时，x+t≥0，
∵f（x+t）≤ex，
∴e^x+t≤ex，
∴t≤1+lnx-x，
令h（x）=1+lnx-x，（x∈[1，m]），
∴h′（x）=

1

x

-1=

1-x

x

≤0，
∴函数h（x）在[1，m]上单调递减，
∴h（x）_max=h（m）=1+lnm-m，
∴1+lnm-m≥-1
即lnm-m+2≥0，
令g（m）=2+lnm-m，（m＞1）
∴g′（m）=

1

m

-1=

1-m

m

＜0，
∴函数g（m）在（1，+∞）上单调递减，
∵g（3）=ln3-1=ln

3

e

＞0，g（4）=ln4-2=ln

4

e2

＜0
∴满足条件的最大整数m的值为3．

点评：本题主要考查指数不等式、对数不等式的解法，函数的恒成立问题，利用导数研究函数的单调性，体现了转化的数学思想，属于中档题．