Question

一次研究性课堂上，老师给出函数f(x)=

x

1+|x|

，甲、乙、丙三位同学在研究此函数的性质时分别给出下列命题：
甲：函数f（x）为偶函数；
乙：函数f（x）的值域为（-1，1）；
丙：若x₁≠x₂则一定有f（x₁）≠f（x₂）
你认为上述三个命题中正确的个数有

 

个．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：首先，求解函数的定义域，然后，借助于f（-x）和f（x）之间的关系，判断奇偶性；然后，借助于绝对值的几何意义，求解函数的值域问题；最后，借助于函数的单调性判断丙的说法正误．

解答： 解：∵函数f（x）的定义域为R，且f（-x）=

-x

1+|x|

=-f(x)，∴，函数f（x）为奇函数，所以，甲的说法是错误的；
f(x)=

x 1+x ， x≥0 x 1-x ，x＜0

，
当x≥0时，f(x)=

x

1+x

=

x+1-1

x+1

=1-

1

1+x

，
∴0≤f（x）＜1，
当x＜0时，f(x)=-

x

x-1

=-

x-1+1

x-1

=-1-

1

x-1

，
∴-1＜f（x）＜0，
函数f（x）的值域为（-1，1）；所以，乙的说法正确；
对于丙的说法：函数在（0，+∞）上为增函数，证明如下：
取任意x₁，x₂∈（0，+∞），且x₁＜x₂，
∵f(x1)-f(x2)=

1

1+x2

-

1

1+x1

=

x1-x2

(1+x1)(1+x2)

∴x₁＜x₂，∴f（x₁）＜f（x₂），
∴函数在（0，+∞）上为增函数，
同理，可以证明函数在（-∞，0）上为增函数，
∴丙的说法是正确的，
∴正确的说法只有乙和丙，
故答案为2，

点评：本题重点考查函数的基本性质，函数的定义域，奇偶性，单调性等知识，考查比较综合，属于中档题，难度中等．