Question

已知函数，，
(Ⅰ)若，求函数的极值；
(Ⅱ)若函数在上单调递减，求实数的取值范围；
（Ⅲ）在函数的图象上是否存在不同的两点，使线段的中点的横坐标与直线的斜率之间满足？若存在，求出；若不存在，请说明理由.

Answer 1

(Ⅰ)取得极大值，无极小值；(Ⅱ)的取值范围为；（Ⅲ）不存在符合题意的两点．

试题分析：(Ⅰ)若，求函数的极值，首先写出，把代入后求导函数，求出导函数在定义域内的零点，然后判断导函数在不同区间段内的符号，从而得到原函数的单调性，最后得到函数的极值情况； (Ⅱ)根据函数在上单调递增，则其导函数在内大于0恒成立，分离变量后可求不等式一侧所对应的函数的值域，从而求出的取值范围； （Ⅲ）利用反证法思想，假设两点存在，由线段AB的中点的横坐标与直线AB的斜率之间满足，利用两点求斜率得到，把也用两点的横坐标表示，整理后得到∴，令，引入函数，通过求函数的导函数判断函数单调性得到，即，从而得出矛盾，说明假设错误．
试题解析：(Ⅰ)的定义域为                  1分
，                       2分
故单调递增；
单调递减，                         3分
时，取得极大值，无极小值。            4分
(Ⅱ)，，
若函数在上单调递增，
则对恒成立                5分
，只需               6分
时，，则，，            7分
故，的取值范围为                       8分
（Ⅲ）假设存在，不妨设，
                          9分
                                  10分
由得，整理得        11分
令，，12分，
在上单调递增，                                  13分
，即，故
不存在符合题意的两点。                                  14分