题目内容
已知函数f(x)的导函数为f ′(x)，且对任意x＞0，都有f ′(x)＞
．
（Ⅰ）判断函数F(x)＝在(0，＋∞)上的单调性；
（Ⅱ）设x1，x2∈(0，＋∞)，证明：f(x1)＋f(x2)＜f(x1＋x2)；
（Ⅲ）请将（Ⅱ）中的结论推广到一般形式，并证明你所推广的结论．
．（Ⅰ）判断函数F(x)＝
在(0，＋∞)上的单调性；（Ⅱ）设x1，x2∈(0，＋∞)，证明：f(x1)＋f(x2)＜f(x1＋x2)；
（Ⅲ）请将（Ⅱ）中的结论推广到一般形式，并证明你所推广的结论．
（Ⅰ）F(x)＝在(0，＋∞)上是增函数；（Ⅱ）f(x1)＋f(x2)＜f(x1＋x2)；（Ⅲ）f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)＜f(x1＋x2＋…＋xn).
在(0，＋∞)上是增函数；（Ⅱ）f(x1)＋f(x2)＜f(x1＋x2)；（Ⅲ）f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)＜f(x1＋x2＋…＋xn).试题分析：（Ⅰ）判断F(x)的单调性，则需对F(x)求导，得F′(x)＝
，∵f ′(x)＞，x＞0，则xf ′(x)－f(x)＞0，即F′(x)＞0，F(x)＝在(0，＋∞)上是增函数.（Ⅱ）要证明f(x1)＋f(x2)＜f(x1＋x2)，可以从第（Ⅰ）的结论入手，∵x1＞0，x2＞0，∴0＜x1＜x1＋x2，F(x)＝在(0，＋∞)上是增函数，则F(x1)＜F(x1＋x2)，即
＜
，而x1＞0，所以f(x1)＜
f(x1＋x2)，同理f(x2)＜
f(x1＋x2)，两式相加，得f(x1)＋f(x2)＜f(x1＋x2)，得证.（Ⅲ）（Ⅱ）中结论的推广形式为：设x1，x2，…，xn∈(0，＋∞)，其中n≥2，则f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)＜f(x1＋x2＋…＋xn)．证明的方法同（Ⅱ）的证明，∵x1＞0，x2＞0，…，xn＞0，∴0＜x1＜x1＋x2＋…＋xn．F(x)＝在(0，＋∞)上是增函数，F(x1)＜F(x1＋x2＋…＋xn)，即＜
，而x1＞0，所以f(x1)＜
f(x1＋x2＋…＋xn)，同理f(x2)＜
f(x1＋x2＋…＋xn)，……f(xn)＜
f(x1＋x2＋…＋xn)，以上n个不等式相加，得f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)＜f(x1＋x2＋…＋xn)，得证.试题解析：（Ⅰ）对F(x)求导数，得F′(x)＝
．∵f ′(x)＞
，x＞0，∴xf ′(x)＞f(x)，即xf ′(x)－f(x)＞0，∴F′(x)＞0．
故F(x)＝
在(0，＋∞)上是增函数．（Ⅱ）∵x1＞0，x2＞0，∴0＜x1＜x1＋x2．
由（Ⅰ），知F(x)＝
在(0，＋∞)上是增函数，∴F(x1)＜F(x1＋x2)，即
＜．∵x1＞0，∴f(x1)＜
f(x1＋x2)．同理可得f(x2)＜
f(x1＋x2)．以上两式相加，得f(x1)＋f(x2)＜f(x1＋x2)．
（Ⅲ）（Ⅱ）中结论的推广形式为：
设x1，x2，…，xn∈(0，＋∞)，其中n≥2，则f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)＜f(x1＋x2＋…＋xn)．
∵x1＞0，x2＞0，…，xn＞0，
∴0＜x1＜x1＋x2＋…＋xn．
由（Ⅰ），知F(x)＝
在(0，＋∞)上是增函数，∴F(x1)＜F(x1＋x2＋…＋xn)，即
＜．∵x1＞0，
∴f(x1)＜
f(x1＋x2＋…＋xn)．同理可得
f(x2)＜
f(x1＋x2＋…＋xn)，f(x3)＜
f(x1＋x2＋…＋xn)，……
f(xn)＜
f(x1＋x2＋…＋xn)．以上n个不等式相加，得f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)＜f(x1＋x2＋…＋xn)．
练习册系列答案
53随堂测系列答案
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．
，求
的最小值；
在区间
上为增函数，求实数
的取值范围；
恰好能作函数
图象的两条切线，并且两切线的倾斜角互补，求实数
单调递增区间；
，使得
是自然对数的底数），求实数
的取值范围．
是正实数，设函数
。
，求
的单调区间；
，使
且
成立，求
的取值范围。
，
，
，求函数
的极值；
在
上单调递减，求实数
的取值范围；
的图象上是否存在不同的两点
，使线段
的中点的横坐标
与直线
之间满足
？若存在，求出
R，函数
e
．
没有零点，求实数
的取值范围；
，求
时，求证：
．
x2－ln x的单调递减区间为________．
的解集为
，且函数
在区间
上不是单调函数，则实数
的取值范围为 （ ）
有大于零的极值点，则
的取值范围是_________.