Question

15．在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，P为AB的中点，则二面角B-CA₁-P的大小为$\frac{π}{6}$．

Answer 1

分析 以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，求出平面BCA₁的法向量和平面PCA₁的法向量，由此利用向量法能求出二面角B-CA₁-P的大小．

解答 解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，
建立空间直角坐标系，
设正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，
C（0，2，0），B（2，2，0），A₁（2，0，2），
P（2，1，0），$\overrightarrow{{CA}_{1}}$=（2，-2，2），$\overrightarrow{CB}$=（2，0，0），$\overrightarrow{CP}$=（2，-1，0），
设平面BCA₁的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
则 $\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CB}=2x=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{{CA}_{1}}=2x-2y+2z=0}\end{array}\right.$，取y=1，得$\overrightarrow{n}$=（0，1，1），
设平面PCA₁的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
则 $\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{CP}=2a-b=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{{CA}_{1}}=2a-2b+2c=0}\end{array}\right.$，取a=1，得$\overrightarrow{m}$=（1，2，1），
设二面角B-CA₁-P的平面角为θ，
cosθ=|cos＜$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{m}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|•|\overrightarrow{m}|}$=$\frac{3}{\sqrt{2}×\sqrt{6}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴θ=$\frac{π}{6}$，
故答案为：$\frac{π}{6}$．

点评 本题主要考查直线与平面之间的平行、垂直等位置关系，二面角的概念、求法等知识，以及空间想象能力和逻辑推理能力．