Question

8．已知函数f（x）=m-|x-2|，m∈R，且f（x+2）≥0的解集为[-1，-1]．
（1）求m的值；
（2）若a，b，c∈R，且$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{4}{{b}^{2}}$+$\frac{9}{{c}^{2}}$=m，求证：a²+b²+c²≥36．

Answer 1

分析 （1）根据不等式的性质得到|x|≤m 的解集为[-1，1]，求出m的值即可；
（2）根据柯西不等式的性质证明即可．

解答 解：（1）函数f（x）=m-|x-2|，m∈R，
故 f（x+2）=m-|x|，由题意可得m-|x|≥0的解集为[-1，1]，
即|x|≤m 的解集为[-1，1]，故m=1．
（2）证明：由（1）得：$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{4}{{b}^{2}}$+$\frac{9}{{c}^{2}}$=1，
由柯西不等式可得：
（$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{4}{{b}^{2}}$+$\frac{9}{{c}^{2}}$）（a²+b²+c²）≥（1+2+3）²=36，
故a²+b²+c²≥36．

点评 本题考查了绝对值不等式问题，考查柯西不等式的性质，是一道中档题．