Question

18．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知csinA=-$\sqrt{3}$acosC，c=$\sqrt{3}$
（Ⅰ）求角C；
（Ⅱ）求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由正弦定理化简已知可得：sinCsinA=-$\sqrt{3}$sinAcosC，结合sinA≠0，利用同角三角函数基本关系式可求tanC=-$\sqrt{3}$，结合范围C∈（0，π），可求C的值．
（Ⅱ）由余弦定理，基本不等式可求ab≤1，进而利用三角形面积公式即可计算得解△ABC面积的最大值．

解答 （本题满分为12分）
解：（Ⅰ）∵csinA=-$\sqrt{3}$acosC，c=$\sqrt{3}$，
∴由正弦定理可得：sinCsinA=-$\sqrt{3}$sinAcosC，
∵A为三角形内角，sinA≠0，
∴sinC=-$\sqrt{3}$cosC，可得：tanC=-$\sqrt{3}$，
∵C∈（0，π），
∴C=$\frac{2π}{3}$…5分
（Ⅱ）由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC，可得：3=a²+b²+ab，
∴a²+b²=3-ab≥2ab，可得：ab≤1，当且仅当a=b时等号成立，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{\sqrt{3}}{4}$ab≤$\frac{\sqrt{3}}{4}$，当且仅当a=b时等号成立，即△ABC面积的最大值为$\frac{\sqrt{3}}{4}$…12分

点评 本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．