Question

9．已知函数$f（x）=\frac{{{{log}_3}（{x+1}）}}{x+1}（{x＞0}）$的图象上有一点列P_n（x_n，y_n）（n∈N^*），点P_n在x轴上的射影是Q_n（x_n，0），且x_n=3x_n-1+2（n≥2且n∈N^*），x₁=2．
（1）求证：{x_n+1}是等比数列，并求出数列{x_n}的通项公式；
（2）对任意的正整数n，当m∈[-1，1]时，不等式$3{t^2}-6mt+\frac{1}{3}＞{y_n}$恒成立，求实数t的取值范围；
（3）设四边形P_nQ_nQ_n+1P_n+1的表面积是S_n，求证：$\frac{1}{S_1}+\frac{1}{{2{S_2}}}+…+\frac{1}{{n{S_n}}}＜3$．

Answer 1

分析 （1）利用已知条件推出x_n+1}是首项为3，公比为3的等比数列．然后求解通项公式．
（2）判断数列{y_n}单调递减，推出当n=1时，y_n取得最大值为$\frac{1}{3}$．不等式$3{t^2}-6mt+\frac{1}{3}＞{y_n}$恒成立，转化为：$3{t^2}-6mt+\frac{1}{3}＞{（{y_n}）_{max}}=\frac{1}{3}$，即t²-2mt＞0，对任意m∈[-1，1]恒成立，列出不等式求解即可．
（3）推出$|{{P_n}{Q_n}}|=\frac{n}{3^n}$，表示四边形P_nQ_nQ_n+1P_n+1的面积为${S_n}=\frac{1}{2}（{|{{P_{n+1}}{Q_{n+1}}}|+|{{P_n}{Q_n}}|}）|{{Q_n}{Q_{n+1}}}|$利用裂项求和求解即可．

解答 （1）解：由x_n=3x_n-1+2（n≥2且n∈N^*）得x_n+1=3（x_n-1+1）（n≥2且n∈N^*）
∵x₁+1=3，∴x_n+1≠0，∴$\frac{{{x_n}+1}}{{{x_{n-1}}+1}}=3$，（n≥2且n∈N^*）
∴{x_n+1}是首项为3，公比为3的等比数列．
∴${x_n}+1=（{{x_1}+1}）{3^{n-1}}={3^n}$．
∴${x_n}={3^n}-1$，n∈N^*．
（2）∵${y_n}=f（{x_n}）=\frac{{{{log}_3}（{{3^n}-1+1}）}}{{{3^n}-1+1}}=\frac{n}{3^n}$，
∵$\frac{{{y_{n+1}}}}{y_n}=\frac{n+1}{{{3^{n+1}}}}•\frac{3^n}{n}=\frac{n+1}{3n}$，n∈N^*，又3n=n+1+2n-1＞n+1＞1，
∴$\frac{{{y_{n+1}}}}{y_n}＜1$故数列{y_n}单调递减，（此处也可作差y_n+1-y_n＜0证明数列{y_n}单调递减）
∴当n=1时，y_n取得最大值为$\frac{1}{3}$．
要使对任意的正整数n，当m∈[-1，1]时，不等式$3{t^2}-6mt+\frac{1}{3}＞{y_n}$恒成立，
则须使$3{t^2}-6mt+\frac{1}{3}＞{（{y_n}）_{max}}=\frac{1}{3}$，即t²-2mt＞0，对任意m∈[-1，1]恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{t^2}-2t＞0\\{t^2}+2t＞0\end{array}\right.$，解得t＞2或t＜-2，
∴实数t的取值范围为（-∞，-2）∪（2，+∞）．
（3）$|{{Q_n}{Q_{n+1}}}|=（{{3^{n+1}}-1}）-（{{3^n}-1}）=2•{3^n}$，而$|{{P_n}{Q_n}}|=\frac{n}{3^n}$，
∴四边形P_nQ_nQ_n+1P_n+1的面积为${S_n}=\frac{1}{2}（{|{{P_{n+1}}{Q_{n+1}}}|+|{{P_n}{Q_n}}|}）|{{Q_n}{Q_{n+1}}}|$=$\frac{1}{2}（{\frac{n+1}{{{3^{n+1}}}}+\frac{n}{3^n}}）•2•{3^n}=\frac{4n+1}{3}$$\frac{1}{{n{S_n}}}=\frac{3}{{n（{4n+1}）}}=\frac{12}{{4n（{4n+1}）}}=12（{\frac{1}{4n}-\frac{1}{4n+1}}）＜12（{\frac{1}{4n}-\frac{1}{4n+4}}）=3（{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}）$$\frac{1}{S_1}+\frac{1}{{2{S_2}}}+…+\frac{1}{{n{S_n}}}＜3（{1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}）=3（{1-\frac{1}{n+1}}）＜3$，
∴故$\frac{1}{S_1}+\frac{1}{{2{S_2}}}+…+\frac{1}{{n{S_n}}}＜3$．

点评 本题考查数列的递推关系式的应用，数列是单调性以及数列求和的应用，考查计算能力．