Question

6．已知圆M：x²+（y-2）²=1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切圆M于A，B两点．
（1）若$|{AB}|=\frac{{4\sqrt{2}}}{3}$，求|MQ|及直线MQ的方程；
（2）求证：直线AB恒过定点．

Answer 1

分析 （1）设直线MQ∩AB=P，则|AP|=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，由|AM|=1，AP⊥MQ，AM⊥AQ，求出|MP|=$\frac{1}{3}$，|MQ|=3，设Q（x，0），由点M（0，2），求出Q（$\sqrt{5}$，0）或（-$\sqrt{5}$，0），由此能求出直线MQ的方程．
（2）设点Q（q，0），由几何性质可以知道，A，B在以QM为直径的圆上，AB为两圆的公共弦，由此能证明直线AB恒过定点（0，$\frac{3}{2}$）．

解答 解：（1）设直线MQ∩AB=P，则|AP|=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，
又|AM|=1，AP⊥MQ，AM⊥AQ，
∴|MP|=$\sqrt{1-（\frac{2\sqrt{2}}{3}）^{2}}$=$\frac{1}{3}$，|AM|²=|MQ|•|MP|，∴|MQ|=3，
设Q（x，0），而点M（0，2），由$\sqrt{{x}^{2}+{2}^{2}}$=3，得x=$±\sqrt{5}$，则Q（$\sqrt{5}$，0）或（-$\sqrt{5}$，0），
从而直线MQ的方程为：2x+$\sqrt{5}y$-2$\sqrt{5}$=0，或2x-$\sqrt{5}y+2\sqrt{5}$=0．
（2）证明：设点Q（q，0），由几何性质可以知道，A，B在以QM为直径的圆上，
此圆的方程为x²+y²-qx-2y=0，AB为两圆的公共弦，
两圆方程相减得qx-2y+3=0，
∴直线AB：y=$\frac{q}{2}x+\frac{3}{2}$恒过定点（0，$\frac{3}{2}$）．

点评 本题考查线段长及直线方程的求法，考查直线恒过定点的证明，考查直线方程、两点间距离公式、圆等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．