Question

18．对满足条件x≥0，y≥0，x+y≤2的实数x，y，记z=|x-1|+|y-1|，则z的最大值为（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． $\sqrt{2}$
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 作出不等式组对应的平面区域，根据绝对值的意义，利用分类讨论的数学，进行平移即可．

解答 解：由z=|x-1|+|y-1|，得|y-1|=-|x-1|+z，
当y≥1时，y-1=-|x-1|+z，即y=-|x-1|+z+1，
当y＜1时，-（y-1）=-|x-1|+z，即y=|x-1|+1-z，
作出不等式组对应的平面区域如图：
当y≥1时，平移曲线y=-|x-1|+z+1，由图象知当直线经过A时，曲线对应的z最大，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=1}\\{x+y=2}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=1}\end{array}\right.$，即A（1，1），此时z=|x-1|+|y-1|=0，
当y＜1时平移曲线y=|x-1|+1-z，由图象知当直线经过（1，0）时，曲线对应的z最大，
此时z=|x-1|+|y-1|=0+1=1，
综上，z的最大值为1，
故选：A

点评 本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合以及分类讨论的数学是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．