Question

10．已知{a_n}是公差为2的等差数列，数列{b_n}满足b₁=1，b₂=$\frac{1}{2}$，且对一切n∈N*恒有a_nb_n+1+b_n+1=nb_n．
（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求{b_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （Ⅰ）令n=1，可得a₁=1，结合{a_n}是公差为2的等差数列，可得{a_n}的通项公式，
（Ⅱ）将其代入已知条件a_nb_n+1+b_n+1=nb_n来求{b_n}的通项公式；

解答 解：（Ⅰ）∵a_nb_n+1+b_n+1=nb_n．
当n=1时，a₁b₂+b₂=b₁．
∵b₁=1，b₂=$\frac{1}{2}$，
∴a₁=1，
又∵{a_n}是公差为2的等差数列，
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1，
（Ⅱ）∵a_nb_n+1+b_n+1=nb_n，
∴（2n-1）b_n+1+b_n+1=nb_n．
化简，得
2b_n+1=b_n，即$\frac{{b}_{n+1}}{{b}_{n}}$=$\frac{1}{2}$，
∴数列{b_n}是以1为首项，以$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，
∴b_n=（$\frac{1}{2}$）^n-1

点评 本题考查的知识点是数列的递推式，数列的通项公式，难度中档．