Question

3．已知f（x）=2+log₃x，x∈[1，3]，求函数y=[f（x）]²+f（x²）的值域．

Answer 1

分析 由已知f（x）的定义域求出函数y=[f（x）]²+f（x²）的定义域，换元后配方，借助于二次函数的单调性求值域．

解答 解：∵f（x）的定义域为[1，3]，
∴由1≤x²≤3，得-$\sqrt{3}$≤x≤-1或1$≤x≤\sqrt{3}$．
则函数y=[f（x）]²+f（x²）的定义域为[1，$\sqrt{3}$]．
∵f（x）=2+log₃x，
∴y=[f（x）]²+f（x²）=$（2+lo{g}_{3}x）^{2}+2+lo{g}_{3}{x}^{2}$
=$lo{{g}_{3}}^{2}x+6lo{g}_{3}x+6$．
令log₃x=t，则t∈[0，$\frac{1}{2}$]．
∴y=t²+6t+6=（t+3）²-3∈[6，$\frac{37}{4}$]．

点评 本题考查函数的定义域及值域的求法，训练了利用二次函数的单调性求函数的值域，是中档题．