Question

7．已知sinx=m，cos2x=m-$\frac{8}{25}$，x∈（0，π）
（Ⅰ）求m的值；
（Ⅱ）求tan（x-$\frac{π}{4}$）的值．

Answer 1

分析 （1）利用余弦函数二倍角公式能求出m的值．
（2）由同角三角函数关系式先求出cosx，再求出tanx，由此能求出tan（x-$\frac{π}{4}$）的值．

解答 解：（1）∵sinx=m，cos2x=m-$\frac{8}{25}$，x∈（0，π），
又cos2x=1-2sin²x，
∴m-$\frac{8}{25}$=1-2m²，
整理，得50m²+25m-33=0，
解得m=$\frac{3}{5}$或m=-$\frac{11}{10}$（舍），
∴m=$\frac{3}{5}$．
（2）∵sinx=$\frac{3}{5}$，x∈（0，π），∴cosx=$±\sqrt{1-（\frac{3}{5}）^{2}}$=$±\frac{4}{5}$，
当cosx=$\frac{4}{5}$时，tanx=$\frac{sinx}{cosx}$=$\frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}}$=$\frac{3}{4}$，
∴tan（x-$\frac{π}{4}$）=$\frac{tanx-tan\frac{π}{4}}{1+tanxtan\frac{π}{4}}$=$\frac{\frac{3}{4}-1}{1+\frac{3}{4}}$=-$\frac{1}{7}$．
当cosx=-$\frac{4}{5}$时，tanx=$\frac{sinx}{cosx}$=-$\frac{3}{4}$，
∴tan（x-$\frac{π}{4}$）=$\frac{tanx-tan\frac{π}{4}}{1+tanxtan\frac{π}{4}}$=$\frac{-\frac{3}{4}-1}{1-\frac{3}{4}}$=-7．

点评 本题考查三角函数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意余弦函数二倍角公式、同角三角函数关系式、正切加法定理的合理运用．