Question

4．在直角坐标系xoy中，直线l经过点P（2，1），且倾斜角为45°，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρsin²θ-2cosθ=0，直线l与曲线C在第一、四象限分别交于A、B两点．
（1）写出直线l的参数方程，曲线C的普通方程；
（2）求|AP|：|BP|的值．

Answer 1

分析 （1）直接利用直线的倾斜角，以及经过的点求出直线的参数方程，转化极坐标方程为普通方程即可．
（2）直线的参数方程代入抛物线方程，求出参数的值，利用此时的几何意义求解即可．

解答 解：（1）在直角坐标系xoy中，直线l经过点P（2，1），且倾斜角为45°，它的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t\\ y=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t\end{array}\right.$，t为参数，…（2分）
以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρsin²θ-2cosθ=0，直角坐标方程为：y²=2x．…（4分）
（2）由（1）$\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{\sqrt{2}}{2}t\\ y=1+\frac{\sqrt{2}}{2}t\end{array}\right.$和y²=2x可知：${（1+\frac{\sqrt{2}}{2}t）}^{2}=2（2+\frac{\sqrt{2}}{2}t）$，…（5分）
得t²=6∴$t=±\sqrt{6}$，…（7分）
由参数的意义知|AP|=$\sqrt{6}$，|BP|=$\sqrt{6}$，…（9分）
∴|AP|：|BP|=1．…（10分）

点评 本题考查直线的参数方程与抛物线的极坐标方程与普通方程的互化，参数的几何意义，考查计算能力．