Question

20．函数f（x）=ax^m（1-x）ⁿ在区间[0，1]上的图象如图所示，则m，n的值可能是②．（填序号）
①m=1，n=1；
②m=1，n=2；
③m=2，n=1；
④m=3，n=1．

Answer 1

分析 由图得，原函数的极大值点小于0.5．把答案代入验证看哪个对应的极值点符合要求即可得出答案．

解答 解：由图得，原函数的极大值点小于0.5．
当m=1，n=1时，f（x）=ax（1-x）=-a（x-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{a}{4}$．在x=$\frac{1}{2}$处有最值，故①错误；
当m=1，n=2时，f（x）=ax^m（1-x）ⁿ=ax（1-x）²=a（x³-2x²+x），所以f′（x）=a（3x-1）（x-1），令f′（x）=0⇒x=$\frac{1}{3}$，x=1，即函数在x=$\frac{1}{3}$处有最值，故②正确；
当m=2，n=1时，f（x）=ax^m（1-x）ⁿ=ax²（1-x）=a（x²-x³），有f'（x）=a（2x-3x²）=ax（2-3x），令f′（x）=0⇒x=0，x=$\frac{2}{3}$，即函数在x=$\frac{2}{3}$处有最值，故③错误；
当m=3，n=1时，f（x）=ax^m（1-x）ⁿ=ax³（1-x）=a（x³-x⁴），有f′（x）=ax²（3-4x），令f′（x）=0，⇒x=0，x=$\frac{3}{4}$，即函数在x=$\frac{3}{4}$处有最值，故④错误．
故答案为：②．

点评 本题主要考查函数的最值（极值）点与导函数之间的关系．在利用导函数来研究函数的极值时，分三步①求导函数，②求导函数为0的根，③判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值．本本题考查利用极值求对应变量的值．可导函数的极值点一定是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点．