Question

19．已知P，M，N在△ABC所在平面内，且|$\overrightarrow{PA}$|=|$\overrightarrow{PB}$|=|$\overrightarrow{PC}$|，$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=$\overrightarrow{MB}$•$\overrightarrow{MC}$=$\overrightarrow{MC}$•$\overrightarrow{MA}$，且$\overrightarrow{NA}$+$\overrightarrow{NB}$+$\overrightarrow{NC}$=$\overrightarrow{0}$，则点P，M，N依次是△ABC的（　　）

• A． 重心 垂心 内心
• B． 外心 垂心 重心
• C． 重心 外心 内心
• D． 外心 重心 内心

Answer 1

分析 由三角形五心的性质即可判断出答案．

解答 解：（1）∵|$\overrightarrow{PA}$|=|$\overrightarrow{PB}$|=|$\overrightarrow{PC}$|，∴|PA|=|PB|=|PC|，∴P为△ABC的外心．
（2）∵$\overrightarrow{MA}$•$\overrightarrow{MB}$=$\overrightarrow{MB}$•$\overrightarrow{MC}$，
∴$\overrightarrow{MB}•$（$\overrightarrow{MA}-\overrightarrow{MC}$）=0，即$\overrightarrow{MB}•\overrightarrow{CA}=0$，
∴MB⊥AC，同理可得：MA⊥BC，MC⊥AB．
∴M为△ABC的垂心．
（3）∵$\overrightarrow{NA}$+$\overrightarrow{NB}$+$\overrightarrow{NC}$=$\overrightarrow{0}$，∴$\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{NB}$=-$\overrightarrow{NC}$，
取AB的中点D，则$\overrightarrow{NA}+\overrightarrow{NB}$=2$\overrightarrow{ND}$，
∴C，N，D三点共线，即N为△ABC的中线CD上的点，且NC=2ND．
∴N为△ABC的重心．
故选：B．

点评 本题考查了三角形五心的性质，平面向量的线性运算的几何意义，属于中档题．