Question

已知函数f（x）=x²-4|x|+3，
（1）画出f（x）的图象；
（2）请根据图象指出函数f（x）的单调递增区间与单调递减区间；（不必证明）
（3）当实数k取不同的值时，讨论关于x的方程x²-4|x|+3=k的实根的个数．

Answer 1

考点：二次函数的性质,函数的图象,根的存在性及根的个数判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）先去绝对值，然后根据二次函数、分段函数图象的画法画出函数f（x）的图象；
（2）通过图象即可求得f（x）的单调递增和递减区间；
（3）通过图象即可得到k的取值和对应的原方程实根的个数．

解答： 解：（1）f（x）=

x2-4x+3 x≥0 x2+4x+3 x＜0

，所以图象如下：
（2）根据图象便得到f（x）的单调递增区间为[-2，0），[2，+∞）；
单调递减区间为（-∞，-2），[0，2）；
（3）由图象可看出，当k＜-1时，方程实根的个数为0；
当k=-1时，方程实根的个数为2；
当-1＜k＜3时，方程实根个数为4；
当k=3时，方程实根个数为3；
当k＞3时，方程实根个数为2．

点评：考查含绝对值函数的处理方法：去绝对值，二次函数、分段函数图象的画法，函数单调性的定义，以及根据图象写出函数的单调区间，数形结合讨论方程实根个数的方法．