Question

8．设数列{a_n}的前n项和为S_n，已知$\frac{{S}_{n}}{2}$=a_n-2ⁿ（n∈N^*）．
（1）求a₁的值，若a_n=2ⁿc_n，证明数列{c_n}是等差数列；
（2）设b_n=log₂a_n-log₂（n+1），数列{$\frac{1}{{b}_{n}}$}的前n项和为B_n，若存在整数m，使对任意n∈N^*且n≥2，都有B_3n-B_n＞$\frac{m}{20}$成立，求m的最大值．

Answer 1

分析 （1）由$\frac{{S}_{n}}{2}$=${a}_{n}-{2}^{n}$，得${S}_{n}=2{a}_{n}-{2}^{n+1}$，从而${a}_{1}={S}_{1}=2{a}_{1}-{2}^{2}$，由此能求出a₁=4；当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$2{a}_{n}-2{a}_{n-1}-{2}^{n}$，从而得到$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}-\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=1，由此能证明数列{c_n}是首项为2，公差为1的等差数列．
（2）求出$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=2+（n-1）×1=n+1，从而${a}_{n}=（n+1）•{2}^{n}$，进而b_n=log₂a_n-log₂（n+1）=n，由此得到${B}_{n}=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}$，B_3n-B_n=$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+…+\frac{1}{3n}$，令f（n）=$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+…+\frac{1}{3n}$，则f（n+1）-f（n）=$\frac{1}{3n+1}+\frac{1}{3n+2}+\frac{1}{3n+3}-\frac{1}{n+1}$=$\frac{1}{3n+1}+\frac{1}{3n+2}-\frac{2}{3n+3}$＞$\frac{1}{3n+3}+\frac{1}{3n+3}-\frac{2}{3n+3}$=0，从而数列{f（n）}为递增数列，当n≥2时，f（n）的最小值为f（2）=$\frac{19}{20}$，从而$\frac{m}{20}$＜$\frac{19}{20}$，由此能求了出m的最大值．

解答 证明：（1）由$\frac{{S}_{n}}{2}$=${a}_{n}-{2}^{n}$，得${S}_{n}=2{a}_{n}-{2}^{n+1}$，
∴${a}_{1}={S}_{1}=2{a}_{1}-{2}^{2}$，解得a₁=4，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（2a_n-2ⁿ⁺¹）-（2a_n-1-2ⁿ）=$2{a}_{n}-2{a}_{n-1}-{2}^{n}$，
∴${a}_{n}-2{a}_{n-1}={2}^{n}$，n≥2，∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}-\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=1，
∵a_n=2ⁿc_n，∴c_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$，
∴${c}_{1}=\frac{{a}_{1}}{{2}^{1}}=\frac{4}{2}=2$，c_n-c_n-1=1，
∴数列{c_n}是首项为2，公差为1的等差数列．
（2）∵$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}-\frac{{a}_{n-1}}{{2}^{n-1}}$=1，$\frac{{a}_{1}}{2}$=2，∴$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n}}$=2+（n-1）×1=n+1，
∴${a}_{n}=（n+1）•{2}^{n}$，∴b_n=log₂a_n-log₂（n+1）=n，
∵数列{$\frac{1}{{b}_{n}}$}的前n项和为B_n，
∴${B}_{n}=\frac{1}{1}+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n}$，
∴B_3n-B_n=$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+…+\frac{1}{3n}$，
令f（n）=$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+…+\frac{1}{3n}$，
则$f（n+1）=\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+…+\frac{1}{3n}+\frac{1}{3n+1}+\frac{1}{3n+2}+\frac{1}{3n+3}$，
∴f（n+1）-f（n）=$\frac{1}{3n+1}+\frac{1}{3n+2}+\frac{1}{3n+3}-\frac{1}{n+1}$
=$\frac{1}{3n+1}+\frac{1}{3n+2}-\frac{2}{3n+3}$＞$\frac{1}{3n+3}+\frac{1}{3n+3}-\frac{2}{3n+3}$=0，
∴f（n+1）＞f（n），∴数列{f（n）}为递增数列，
∴当n≥2时，f（n）的最小值为f（2）=$\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}$=$\frac{19}{20}$，
据题意，$\frac{m}{20}$＜$\frac{19}{20}$，得m＜19，
又m为整数，∴m的最大值为18．

点评 本题考查等差数列的证明，考查实数值的最大值的求法，考查构造法、等差数列、数列的单调性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．