Question

17．甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为$\frac{1}{2}$与p，且乙投球2次均未命中的概率为$\frac{1}{16}$．
（Ⅰ）求甲投球2次，至少命中1次的概率；
（Ⅱ）若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中3次的概率．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出甲投球2次都没有命中的概率，再用1减去此概率，即为所求．
（Ⅱ）求出甲只有一次没有命中、乙2次全部命中的概率，再求出乙只有一次没有命中、甲2次全部命中的概率，把这两个概率相加，即为所求．

解答 解：（Ⅰ）由题意，甲投球2次，都没有命中的概率为$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}$，
故甲至少命中1次的概率为1-$\frac{1}{4}$=$\frac{3}{4}$．
（Ⅱ）∵乙投球2次均未命中的概率为（1-p）•（1-p）=$\frac{1}{16}$，∴p=$\frac{3}{4}$．
若甲、乙两人各投球2次，求两人共命中3次，
则甲只有一次没有命中、乙2次全部命中，或乙只有一次没有命中、甲2次全部命中．
而甲只有一次没有命中、乙2次全部命中的概率为 ${C}_{2}^{1}$•$\frac{1}{2}$•（1-$\frac{1}{2}$）•${（\frac{3}{4}）}^{2}$=$\frac{9}{32}$，
而乙只有一次没有命中、甲2次全部命中的概率为 ${C}_{2}^{1}$•$\frac{3}{4}$$•\frac{1}{4}$•${（\frac{1}{2}）}^{2}$=$\frac{3}{32}$，
故两人共命中3次的概率为$\frac{9}{32}$+$\frac{3}{32}$=$\frac{3}{8}$．

点评 本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式的应用，事件和它的对立事件概率间的关系，属于基础题．