题目内容
20．
如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动．（1）当E为AB的中点时，求AD1与平面ECD1所成角的正弦值；
（2）当AE等于何值时，二面角D1-EC-D的大小为$\frac{π}{4}$．
分析 （1）先求点A到面ECD1的距离为$\frac{{\sqrt{6}}}{6}$，设AD1与平面ECD1所成角为θ，则可求AD1与平面ECD1所成角的正弦值；
（2）过点D作DH⊥EC，垂足为H，连结D1H，证明∠D1HD为二面角D1-EC-D的平面角，利用等面积求出BE，即可当AE等于何值时，二面角D1-EC-D的大小为$\frac{π}{4}$．
解答 
解：（1）△ECD1中，EC=$\sqrt{2}$，CD1=$\sqrt{5}$，ED1=$\sqrt{3}$，∴ED1⊥EC，∴${S}_{△{D}_{1}EC}$=$\frac{1}{2}×\sqrt{2}×\sqrt{3}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
设求点A到面ECD1的距离为h，则$\frac{1}{3}×\frac{\sqrt{6}}{2}h=\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×1$，
∴求点A到面ECD1的距离为h=$\frac{{\sqrt{6}}}{6}$，设AD1与平面ECD1所成角为θ，则$sinθ=\frac{{\frac{{\sqrt{6}}}{6}}}{{A{D_1}}}=\frac{{\sqrt{3}}}{6}$．
（2）过点D作DH⊥EC，垂足为H，连结D1H，
∵D1D⊥平面ABCD，∴D1D⊥EC，∴EC⊥平面D1HD，∴D1H⊥EC，
∴∠D1HD为二面角D1-EC-D的平面角，∴$∠{D_1}HD=\frac{π}{4}$，∴DH=DD1=1，
在△DEC中，$EC=\frac{DC•BC}{DH}=2$，∴$BE=\sqrt{3}$，∴$AE=2-\sqrt{3}$
点评 本题考查线面角、平面与平面所成角，考查三棱锥体积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
如图所示，四边形MNQP被线段NP切割成两个三角形分别为△MNP和△QNP，若MN⊥MP，$\sqrt{2}$sin（∠MPN+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$，QN=2QP=2，则四边形MNQP的最大值为（ ）| A． | $\frac{5}{4}-\sqrt{2}$ | B． | $\frac{5}{4}+\sqrt{2}$ | C． | $\frac{5}{2}-\sqrt{2}$ | D． | $\frac{5}{2}+\sqrt{2}$ |
| 气温x | 14 | 12 | 8 | 6 |
| 用电量y | 22 | 26 | 34 | 38 |
（2）利用线性回归方程估计气温为10℃时的用电量．
| A． | $a=30，p=\frac{1}{10}$ | B． | $a=30，p=\frac{1}{5}$ | C． | $a=15，p=\frac{1}{10}$ | D． | $a=15，p=\frac{1}{5}$ |