Question

10．如图所示，四边形MNQP被线段NP切割成两个三角形分别为△MNP和△QNP，若MN⊥MP，$\sqrt{2}$sin（∠MPN+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$，QN=2QP=2，则四边形MNQP的最大值为（　　）

• A． $\frac{5}{4}-\sqrt{2}$
• B． $\frac{5}{4}+\sqrt{2}$
• C． $\frac{5}{2}-\sqrt{2}$
• D． $\frac{5}{2}+\sqrt{2}$

Answer 1

分析 由已知$\sqrt{2}$sin（∠MPN+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$，利用正弦函数的图象和性质可求∠MPN=$\frac{π}{4}$，利用已知由勾股定理可得：MN²=$\frac{1}{2}$NP²，设∠PQN=θ，在△NPQ中，利用余弦定理可得：NP²=5-4cosθ，进而可求S_MNQP=$\frac{5}{4}$+$\sqrt{2}$sin（θ-$\frac{π}{4}$），利用正弦函数的有界性即可得解．

解答 解：∵$\sqrt{2}$sin（∠MPN+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{2}$，sin（∠MPN+$\frac{π}{4}$）=1，
∴∠MPN+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{2}$，可得：∠MPN=$\frac{π}{4}$，
∵MN⊥MP，
∴△MNP中，MN=MP，由勾股定理可得：MN²=$\frac{1}{2}$NP²，
设∠PQN=θ，在△NPQ中，利用余弦定理可得：NP²=NQ²+PQ²+2NQ•PQcosθ=4+1-2×2×1×cosθ=5-4cosθ，
则S_MNQP=$\frac{1}{2}$MN²+$\frac{1}{2}$PQ×NQsinθ
=$\frac{1}{4}$NP²+sinθ
=$\frac{1}{4}$（5-4cosθ）+sinθ
=$\frac{5}{4}$+$\sqrt{2}$sin（θ-$\frac{π}{4}$）≤$\frac{5}{4}$$+\sqrt{2}$，当且仅当∠PQN=$\frac{3π}{4}$时，取等号．
故选：B．

点评 本题主要考查了正弦函数的图象和性质，余弦定理，三角形面积公式的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．