Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）当时，求证：函数有且仅有一个零点；

（Ⅲ）当时，写出函数的零点的个数.（只需写出结论）

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）当时， 有一个零点；当且时， 有两个零点.

【解析】试题分析：（Ⅰ）求得函数的导函数，得到， ，进而得到切线的方程.

（Ⅱ）当时，求得函数的导数，得，则为单调递增函数，又由，进而得到在单调递减，在单调递增，所以函数的最小值为，即可证明结论；

（Ⅲ）根据函数的单调性和极值，可得当和且时时， 零点的个数.

试题解析：

（Ⅰ）因为函数,所以

故， ， 曲线在处的切线方程为

（Ⅱ）当时，令，则

故是上的增函数.

由，故当时， ，当时， .

即当时， ，当时， .

故在单调递减，在单调递增.

函数的最小值为，由，故有且仅有一个零点.

（Ⅲ）当时， 有一个零点；当且时， 有两个零点.